Новости города БезФормата.Ru
Долгопрудный
Главные новости
 
Задать вопрос?

Игры разума: математики доказали гипотезу, над которой учёные бились более 40 лет

Учёные Александр Полянский (МФТИ, Россия) и Цзылинь Цзян (Технион, Израиль) доказали гипотезу о покрытии сферы зонами, сформулированную венгерским математиком Ласло Фейешем Тотом ещё в 1973 году: «Если несколько зон покрывает единичную сферу, то их суммарная ширина по крайней мере π ». Результат важен для развития дискретной геометрии и даёт возможность постановки новых задач. Доказательство было опубликовано в журнале Geometric and Functional Analysis .


Дискретная геометрия изучает комбинаторные свойства точек, прямых, окружностей, многоугольников и других геометрических объектов. Например, она позволяет ответить на вопросы: какое наибольшее число шаров одинакового размера можно разместить вокруг одного такого же шара, как наиболее плотно замостить плоскость одинаковыми кругами или пространство одинаковыми шарами и т. д. Результаты некоторых таких задач сейчас применяются на практике: так, задача о плотной упаковке позволяет оптимизировать кодирование и исправление ошибок при передаче информации. Доказательство теоремы о четырёх красках, утверждающей, что всякую расположенную на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами так, чтобы граничащие страны не были одинакового цвета, натолкнуло математиков на разработку значимой части понятий теории графов, без которой невозможно представить сегодня многие разработки в химии, биологии, информатике, любые логистические системы и т. д.

 

Гипотеза Ласло Фейеш Тота тесно связана с другими задачами дискретной геометрии о покрытии полосками, решёнными в XX веке. Изначально ставилась задача о покрытии круга полосками, заключёнными между параллельными прямыми, более известная как задача о дощечках. Математик Тарский изящно и просто доказал, что суммарная ширина этих полосок-дощечек не превосходит диаметр круга, вне зависимости от их количества: то есть лучше, чем одной дощечкой, ширина которой — диаметр круга, его покрыть нельзя. Бангом была решена задача о покрытии полосками произвольного выпуклого тела, а именно было доказано, что если несколько полосок покрывает выпуклое тело, то их суммарная ширина по крайней мере ширина данного тела, т. е. минимальная ширина одной полоски, покрывающей данное тело.


Рисунок 1: Задача, решённая Тарским: полное покрытие круга с единичным радиусом полосками так, что их суммарная ширина не меньше 2 (диаметр круга). Каждая из пяти полосок имеет свою ширину и обозначена уникальным цветом.

 

Задача, над которой работали авторы публикации, принципиально отличается от предыдущих: в ней требуется исследовать покрытие сферы с единичным радиусом особым образом построенными зонами. А именно: каждая зона поставлена в соответствие определённой трёхмерной полоске-дощечке (всему тому, что заключено между двумя параллельными плоскостями, расположенными симметрично относительно центра сферы) и является её пересечением со сферой. Можно ввести и другое определение, уже не ассоциируя зоны с полосками: зоной ширины ω на поверхности сферы с единичным радиусом называется множество точек, которые находятся на расстоянии не более ω / 2 от большой окружности (экватора) в геодезической метрике (т. е. расстояние между двумя точками равно длине наименьшей дуги, их соединяющей). Математикам необходимо было найти минимальную суммарную ширину нескольких таких зон, покрывающих единичную сферу. Основное отличие задачи от предыдущих в измерении ширины: в случае обычных полосок ширина — это евклидово расстояние между параллельными прямыми или параллельными плоскостями, а этом случае — это длина дуги.


Рисунок 2: Жёлтым цветом на поверхности сферы обозначена одна зона ширины ω.


Рисунок 3: Полное покрытие сферы зонами. Каждая из пяти зон имеет свою ширину и обозначена уникальным цветом.


При доказательстве авторы были вдохновлены идеей Банга, который использовал для решения задачи о покрытии тела полосками построение специального конечного множества точек внутри тела, среди которых одна не покрыта полосками. Математики, как и Банг, шли в каком-то смысле от противного: предполагали, что сумма ширин зон, полностью покрывающих сферу, меньше π , и хотели получить противоречие: найти точку, которая лежит на сфере, но не покрыта зонами.

 

Рисунок 4: Гипотеза Ласло Фейеша Тота. Покрытие сферы с единичным радиусом зонами одинаковой ширины. Случай минимальной суммарной ширины зон равной π . Каждая зона обозначена уникальным цветом.

 

Авторы показали, что можно построить такое множество точек в трёхмерном пространстве, чтобы по крайней мере одна точка не была покрыта полосками, образующими зоны. Если все эти точки будут находиться внутри сферы, то будет несложно построить одну точку на ней, не покрытую полосками, а значит, и зонами. Если же какая-то из точек множества окажется за пределами сферы, то в этом случае удаётся заменить несколько зон одной большой зоной с шириной равной сумме всех ширин этих зон. Таким образом, удаётся в исходной задаче уменьшить число зон, но при этом не изменить их суммарную ширину, то есть в какой-то момент получится найти точку на сфере, не покрытую зонами. Это противоречит тому, что сумма ширин зон меньше π , и доказывает гипотезу Ласло Фейеш Тота.

 

Задача решалась в n - мерном пространстве, но, по словам учёных, эта постановка и доказательство ничем не отличается от трёхмерного случая.

 

Александр Полянский , сотрудник кафедры дискретной математики МФТИ, один из авторов работы: «Задача Ласло Фейеша Тота привлекала внимание математиков, занимающихся дискретной геометрией, вот уже более 40 лет. У этой задачи оказалось изящное решение, и нам посчастливилось его найти. Задача Ласло Фейеша Тота навела нас на мысль о другой, более сильной гипотезе о покрытии сферы смещёнными зонами, полученными пересечением единичной сферы с трёхмерными полосками-дощечками, не обязательно симметричными относительно центра».


Для выпускников школ Химок звенят последние звонки. В этом году стены учебных заведений покинут 3 270 учеников.
24.05.2018 Администрация г. Химки
Выпускной вечер прошел в Центральной детской школе искусств в Химках. Около 200 учащихся получили первый в своей жизни документ об образования в сфере искусства — Свидетельство об окончании школы.
24.05.2018 Администрация г. Химки
Лицеисты изобрели машину времени - Истринские ВСетиНа празднике Последнего звонка выпускники Лицея города Дедовска показали свое изобретение — виртуальную машину школьного времени.
24.05.2018 Истринские ВСети
Всем участникам выставки необходимо оформить работы в соответствии с положением о конкурсе - рамы, паспарту, крепления для подвеса.
24.05.2018 Администрация Солнечногорского района
    24 мая для егорьевских одиннадцатиклассников прозвенел последний звонок.
24.05.2018 Администрация Егорьевского района
Ученики Троицкой Детской школы искусств приняли участие во II Всероссийской олимпиаде по сольфеджио.
24.05.2018 Pro-Troitsk.Ru
Сергей Юров поздравил выпускников с последним звонком - Администрация г. Балашиха(Наталья Кондратьева) Глава Балашихи Сергей Юров поздравил выпускников школы №4 в микрорайоне Керамик в Балашихе с последним звонком.
24.05.2018 Администрация г. Балашиха
JPG Файл - МВД Московской областиСотрудники отдела по делам несовершеннолетних МУ МВД России «Балашихинское» провели урок кибербезопасности для учащихся 6-7 классов школы № 25 в г.о.
23.05.2018 МВД Московской области
Студенты МГОУ в болгарском городе Шабла - МГОУСтудентам МГОУ посчастливилось в такой памятный и великий день как 9 мая быть принятыми в городе Шабла, Болгария.
24.05.2018 МГОУ
ABSCHIEDMIX. От Баха до Раммштайна. - МГИКСтуденты 2-ого курса преподавателя немецкого языка С. П. Камышниковой самостоятельно провели последнее занятие в форме необычного творческого концерта.
24.05.2018 МГИК
Картина выпускников Центра творчества «Истоки» украсит интерьер городской администрации - Газета Факт
Картина выпускников Центра творчества «Истоки» украсит интерьер городской администрации
Работу выпускников Центра творческого развития и гуманитарного образования «Истоки» – пейзаж «Ясный осенний день на берегах Пехорки», написанный маслом под руководством педагога Зинаиды Печерышной,
Газета Факт
Школьные годы чудесные… - Котельники сегодня
Школьные годы чудесные…
24 мая для выпускников городского округа Котельники прозвенел последний звонок.
Котельники сегодня
Глава Солнечногорского района Андрей Чураков побывал на последнем звонке в Ложковской средней школе - Газета Сенеж
Глава Солнечногорского района Андрей Чураков побывал на последнем звонке в Ложковской средней школе
24 мая во всех 28 школах Солнечногорского района прозвенел последний  звонок, возвещающих об окончании учебного года, а для выпускников школ – об окончании учебы.
Газета Сенеж
О чем писало “Красное знамя” 17 мая 1957 года - Красное знамяТрудящиеся района дружно подписываются на новый заем Патриотический подъем Оживленно было во всех цехах Тучковского карьероуправления 14 мая.
24.05.2018 Красное знамя
Один пассажир мотоцикла погиб, пять получили ранения с начала 2018 года на территории 5 батальона ДПС - Орехово-Зуевская правдаНа территории 5 батальона ДПС 2 полка ДПС (южный) с начала этого года произошло 5 дорожно-транспортных происшествий с участием мототранспорта,
24.05.2018 Орехово-Зуевская правда
Мошенницы с пятитысячными купюрами действуют в Сергиевом Посаде - КопейкаЧитатели «Копейки» просят помочь опознать мошенников, которые обманули продавца ветклиники в Сергиевом Посаде на 5000 рублей.
24.05.2018 Копейка
За наркотики клинчанин лишил себя свободы на 5 лет - Серп и Молот
За наркотики клинчанин лишил себя свободы на 5 лет
Клинской городской прокуратурой поддержано государственное обвинение по уголовному делу в отношении А.И.
Серп и Молот
В Рузском округе капитан полиции погиб от удара током - Красное знамя
В Рузском округе капитан полиции погиб от удара током
Преподаватель кафедры тактико-специальной, огневой и физической подготовки Московского областного филиала университета МВД России имени В.Я.
Красное знамя
24 мая 2018 года состоится открытие Музея истории органов ЗАГС Московской области - Управление ЗАГС МО24 мая 2018 года в Лобненском отделе ЗАГС Главного управления ЗАГС Московской области состоится открытие Музея истории органов ЗАГС Московской области.
23.05.2018 Управление ЗАГС МО
ГРАФИКА ЕВГЕНИЯ ГЛЫЗЯ - В «СЛАВЯНСКОМ ДРЕВЕ» - Красногорские вестиВ рамках Международного фестиваля «Славянские встречи» в Балашихе в городской картинной галерее открылась международная художественная выставка «Славянское древо».
24.05.2018 Красногорские вести
Выставка зарайских умельцев - За новую жизнь   Как сообщила член Зарайского отделения Союза пенсионеров Подмосковья Лидия Латышева, 22 мая в КЦ «Победа» прошло мероприятие под названием «Три грани вдохновения».
24.05.2018 За новую жизнь
Вечер дружбы народов «Дети одной планеты» состоялся в Малаховке - Люберецкая панорама
Вечер дружбы народов «Дети одной планеты» состоялся в Малаховке
ЛЮБЕРЦЫ. 24 мая. INLUBERTSY.RU - Вечер дружбы народов «Дети одной планеты» состоялся 22 мая в Малаховском КДЦ «Союз», сообщает Люберецкое информагентство со ссылкой на со ссылкой на КДЦ «Союз».
Люберецкая панорама
Дворец культуры станет украшением города - Газета Факт
Дворец культуры станет украшением города
Порядка 250 миллионов рублей выделено на капитальный ремонт Дворца культуры «Балашиха».
Газета Факт
Спектаклем по роману Булгакова открыли фестиваль губернских театров в Орехово-Зуеве (видео) - Орехово-Зуевская правда
Спектаклем по роману Булгакова открыли фестиваль губернских театров в Орехово-Зуеве (видео)
Торжественная церемония открытия I Всероссийского фестиваля губернских театров «Фабрика Станиславского-2018» состоялась во вторник, 22 мая,
Орехово-Зуевская правда
Мост через Волгу в Дубне соединит две части города до конца года - Серебряно-Прудский вестникОб этом Губернатору  #МО  Андрею Воробьеву доложил глава г.о. Дубна Максим Данилов.
23.05.2018 Серебряно-Прудский вестник
Юных хоккеистов наградили в Одинцове - Новые рубежи23 мая  в Ледовом дворце «Армада» в городе Одинцово прошла церемония награждения победителей и призёров Открытого Первенстве Московской области и Открытого Кубка Московской области по хоккею сезона 2017–2018 годов.
24.05.2018 Новые рубежи
В Красногорске наградили победителей, участников и организаторов 50-й Спартакиады школьников - Красногорские вестиПредставители спортивных команд тридцати муниципальных образовательных учреждений и трёх частных школ г. о. Красногорск, а также их педагоги собрались на торжественную церемонию вручения кубков, медалей и дипломов,
23.05.2018 Красногорские вести
В Подмосковье завершился ежегодный футбольный турнир «Кожаный мяч» - Новые рубежи
В Подмосковье завершился ежегодный футбольный турнир «Кожаный мяч»
В Подмосковье завершился областной этап турнира «Кожаный мяч», который проходил в городе Подольск с 21 по 23 мая.
Новые рубежи
Судебный пристав Подмосковья — победитель открытого Чемпионата Европы по кунг-фу - Орехово-Зуевская правда
Судебный пристав Подмосковья — победитель открытого Чемпионата Европы по кунг-фу
Первое место заняла судебный пристав из Подмосковья на соревнованиях в Ереване,
Орехово-Зуевская правда
Губернатор Подмосковья подарил чеховским спортсменам автобус - Газета Новости недели
Губернатор Подмосковья подарил чеховским спортсменам автобус
Гандбольный клуб «Чеховские медведи» продолжает празднование победы в чемпионате России.
Газета Новости недели
Обзор газеты «Люберецкая панорама» от 24 мая 2018 года - ИнфоЛюберцыИнфоЛюберцы – 24 мая . 24 мая вышел в свет двадцатый номер общественно-политической газеты «Люберецкая панорама», сообщил городскому сайту ИнфоЛюберцы ответственный секретарь редакции Иван Борисов.
24.05.2018 ИнфоЛюберцы
Андрей Воробьев подписал ряд соглашений о реализации важных инвестпроектов в Подмосковье - Химские новостиГубернатор Андрей Воробьев на ПМЭФ2018  подписал ряд соглашений о реализации важных инвестпроектов в Подмосковье  Документ с «Агрокомплексом Богородские овощи» предусматривает создание тепличного комплекса по производ
24.05.2018 Химские новости
Швейцарская компания запустила в Подмосковье производство полимерных мембран - Министерство строительного комплекса МОВ городском округе Лобня запустили производство высокоэффективных термопластичных полимерных мембран, используемых для кровельной и подземной гидроизоляции.
24.05.2018 Министерство строительного комплекса МО
В школе №2 вручены золотые указки - Котельники сегодняВ школе №2 города Котельников, как и во всей стране прозвучал последний звонок для выпускников.
24.05.2018 Котельники сегодня
Путин провел встречу с секретарем Генсовета Партии Андреем Турчаком - Единая РоссияГлава государства призвал Партию в рамках работы по подготовке к выборам в Государственную Думу 2021 года активнее работать по решению проблем граждан,
24.05.2018 Единая Россия