Новости города БезФормата.Ru
Долгопрудный
Главные новости
 
Задать вопрос?

Игры разума: математики доказали гипотезу, над которой учёные бились более 40 лет

Учёные Александр Полянский (МФТИ, Россия) и Цзылинь Цзян (Технион, Израиль) доказали гипотезу о покрытии сферы зонами, сформулированную венгерским математиком Ласло Фейешем Тотом ещё в 1973 году: «Если несколько зон покрывает единичную сферу, то их суммарная ширина по крайней мере π ». Результат важен для развития дискретной геометрии и даёт возможность постановки новых задач. Доказательство было опубликовано в журнале Geometric and Functional Analysis .


Дискретная геометрия изучает комбинаторные свойства точек, прямых, окружностей, многоугольников и других геометрических объектов. Например, она позволяет ответить на вопросы: какое наибольшее число шаров одинакового размера можно разместить вокруг одного такого же шара, как наиболее плотно замостить плоскость одинаковыми кругами или пространство одинаковыми шарами и т. д. Результаты некоторых таких задач сейчас применяются на практике: так, задача о плотной упаковке позволяет оптимизировать кодирование и исправление ошибок при передаче информации. Доказательство теоремы о четырёх красках, утверждающей, что всякую расположенную на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами так, чтобы граничащие страны не были одинакового цвета, натолкнуло математиков на разработку значимой части понятий теории графов, без которой невозможно представить сегодня многие разработки в химии, биологии, информатике, любые логистические системы и т. д.

 

Гипотеза Ласло Фейеш Тота тесно связана с другими задачами дискретной геометрии о покрытии полосками, решёнными в XX веке. Изначально ставилась задача о покрытии круга полосками, заключёнными между параллельными прямыми, более известная как задача о дощечках. Математик Тарский изящно и просто доказал, что суммарная ширина этих полосок-дощечек не превосходит диаметр круга, вне зависимости от их количества: то есть лучше, чем одной дощечкой, ширина которой — диаметр круга, его покрыть нельзя. Бангом была решена задача о покрытии полосками произвольного выпуклого тела, а именно было доказано, что если несколько полосок покрывает выпуклое тело, то их суммарная ширина по крайней мере ширина данного тела, т. е. минимальная ширина одной полоски, покрывающей данное тело.


Рисунок 1: Задача, решённая Тарским: полное покрытие круга с единичным радиусом полосками так, что их суммарная ширина не меньше 2 (диаметр круга). Каждая из пяти полосок имеет свою ширину и обозначена уникальным цветом.

 

Задача, над которой работали авторы публикации, принципиально отличается от предыдущих: в ней требуется исследовать покрытие сферы с единичным радиусом особым образом построенными зонами. А именно: каждая зона поставлена в соответствие определённой трёхмерной полоске-дощечке (всему тому, что заключено между двумя параллельными плоскостями, расположенными симметрично относительно центра сферы) и является её пересечением со сферой. Можно ввести и другое определение, уже не ассоциируя зоны с полосками: зоной ширины ω на поверхности сферы с единичным радиусом называется множество точек, которые находятся на расстоянии не более ω / 2 от большой окружности (экватора) в геодезической метрике (т. е. расстояние между двумя точками равно длине наименьшей дуги, их соединяющей). Математикам необходимо было найти минимальную суммарную ширину нескольких таких зон, покрывающих единичную сферу. Основное отличие задачи от предыдущих в измерении ширины: в случае обычных полосок ширина — это евклидово расстояние между параллельными прямыми или параллельными плоскостями, а этом случае — это длина дуги.


Рисунок 2: Жёлтым цветом на поверхности сферы обозначена одна зона ширины ω.


Рисунок 3: Полное покрытие сферы зонами. Каждая из пяти зон имеет свою ширину и обозначена уникальным цветом.


При доказательстве авторы были вдохновлены идеей Банга, который использовал для решения задачи о покрытии тела полосками построение специального конечного множества точек внутри тела, среди которых одна не покрыта полосками. Математики, как и Банг, шли в каком-то смысле от противного: предполагали, что сумма ширин зон, полностью покрывающих сферу, меньше π , и хотели получить противоречие: найти точку, которая лежит на сфере, но не покрыта зонами.

 

Рисунок 4: Гипотеза Ласло Фейеша Тота. Покрытие сферы с единичным радиусом зонами одинаковой ширины. Случай минимальной суммарной ширины зон равной π . Каждая зона обозначена уникальным цветом.

 

Авторы показали, что можно построить такое множество точек в трёхмерном пространстве, чтобы по крайней мере одна точка не была покрыта полосками, образующими зоны. Если все эти точки будут находиться внутри сферы, то будет несложно построить одну точку на ней, не покрытую полосками, а значит, и зонами. Если же какая-то из точек множества окажется за пределами сферы, то в этом случае удаётся заменить несколько зон одной большой зоной с шириной равной сумме всех ширин этих зон. Таким образом, удаётся в исходной задаче уменьшить число зон, но при этом не изменить их суммарную ширину, то есть в какой-то момент получится найти точку на сфере, не покрытую зонами. Это противоречит тому, что сумма ширин зон меньше π , и доказывает гипотезу Ласло Фейеш Тота.

 

Задача решалась в n - мерном пространстве, но, по словам учёных, эта постановка и доказательство ничем не отличается от трёхмерного случая.

 

Александр Полянский , сотрудник кафедры дискретной математики МФТИ, один из авторов работы: «Задача Ласло Фейеша Тота привлекала внимание математиков, занимающихся дискретной геометрией, вот уже более 40 лет. У этой задачи оказалось изящное решение, и нам посчастливилось его найти. Задача Ласло Фейеша Тота навела нас на мысль о другой, более сильной гипотезе о покрытии сферы смещёнными зонами, полученными пересечением единичной сферы с трёхмерными полосками-дощечками, не обязательно симметричными относительно центра».


Школа искусств на 600 учеников в Шаховской - Правительство Московской областиИсточник: Министерство строительного комплекса Московской области Новую детскую школу искусств  на 600 учеников ввели в эксплуатацию в Шаховской,
15.12.2017 Правительство Московской области
Максим Фомин: «Новая детская школа искусств, рассчитанная на 600 учеников, построена в Шаховской» - Министерство строительного комплекса МОВ городском округе Шаховская введено в эксплуатацию новое здание детской школы искусств.
15.12.2017 Министерство строительного комплекса МО
Руководители предприятий обсудили насущные вопросы, касающиеся жизни города - Газета Новости неделиГрядущее 80-летие города, объединение со Степановским сельским поселением, профессиональная подготовка кадров Электростальским колледжем,
15.12.2017 Газета Новости недели
В соответствии с Соглашением - Администрация Воскресенского районаВ связи с подписанием Соглашения между Министерством образования региона и администрацией Воскресенского района об организации взаимодействия по формированию кадрового резерва для замещения вакантных должностей руководит
15.12.2017 Администрация Воскресенского района
(Московский Университет МВД России и Московский областной филиал Московского Университета МВД России)   Принимаются выпускники 11 класса, физически развитые,
15.12.2017 Дмитровский район
JPG Файл - МВД Московской областиСотрудники УМВД России по Воскресенскому району совместно с членом Общественного при УМВД Галиной Васильчук провели для студентов Воскресенского колледжа мероприятие, приуроченное к Дню Конституции Российской Федерации.
15.12.2017 МВД Московской области
Приёмная семья – добрая примета времени - Лотошинский район13 декабря 2017 года в Центральной районной библиотеке состоялось новогоднее заседание клуба приёмных родителей «Семейная гостиная».
15.12.2017 Лотошинский район
Лауреаты Премии Губернатора Московской области  в сфере науки и инноваций для молодых учёных и специалистов в 2017 году - Городские вестиОбъявлены лауреаты Премии Губернатора Московской области в сфере науки и инноваций для молодых ученых и специалистов в 2017 году Автор фотографии:
14.12.2017 Городские вести
Новая школа в микрорайоне Кузнечики г.о. Подольск готова принять первых учеников - Министерство строительного комплекса МО«В микрорайоне Кузнечики Подольского городского округа введена в эксплуатацию школа с пристройкой для дополнительного образования и спортивным ядром,
14.12.2017 Министерство строительного комплекса МО
Команда Гжельского университета – призер олимпиады «ПсихоЛогос» - ГГХПИСтало хорошей традицией участие университета в Московской областной студенческой олимпиаде по психологии «ПсихоЛогос».
14.12.2017 ГГХПИ
ОПАЛИХОВСКОЙ ШКОЛЕ 50 ЛЕТ! - Красногорские вести
ОПАЛИХОВСКОЙ ШКОЛЕ 50 ЛЕТ!
Завтра, 15 декабря, в Опалиховской школе пройдут торжественные мероприятия, посвященные празднованию полувекового юбилея образовательного учреждения.
Красногорские вести
Школа славных традиций - Красное знамя
Школа славных традиций
Нововолковская школа отмечает полувековой юбилей. О ее истории, выпускниках, днях минувших и сегодняшних рассказывает статья, подготовленная педагогами этого учреждения.
Красное знамя
Руководители предприятий обсудили насущные вопросы, касающиеся жизни города - Газета Новости недели
Руководители предприятий обсудили насущные вопросы, касающиеся жизни города
Грядущее 80-летие города, объединение со Степановским сельским поселением, профессиональная подготовка кадров Электростальским колледжем,
Газета Новости недели
Неизвестные избили журналиста "Радонежья" - КопейкаВ ночь на четверг избили нашего коллегу, журналиста телеканала «Радонежье».
14.12.2017 Копейка
Полицейские Клинского района задержали мужчину, находящегося в федеральном розыске - Nedelka-Klin.RuНа Ленинградском шоссе на стационарном посту-пикете сотрудниками полиции для проверки документов был остановлен автомобиль иностранного производства под управлением 34-летнего жителя Ленинградской области.
14.12.2017 Nedelka-Klin.Ru
Житель Рузского округа продал пакет с порошком полицейскому - Красное знамя9 декабря на улице Комсомольской в Тучкове в ходе проверочной закупки местный житель продал оперуполномоченному местного отдела полиции пакет с порошком за шесть тысяч рублей и сразу же был задержан.
15.12.2017 Красное знамя
Покушение на убийство в Орехово-Зуеве было совершено на минувшей неделе - Орехово-Зуевская правда
Покушение на убийство в Орехово-Зуеве было совершено на минувшей неделе
Покушение на убийство в Орехово-Зуеве было совершено на минувшей неделе, об этом сообщил представитель полиции на оперативном совещании первого заместителя главы Орехово-Зуевского района Виктора Сорокина 15 декабря «З
Орехово-Зуевская правда
В Тучкове сгорел грузовик - Красное знамя
В Тучкове сгорел грузовик
В ночь на 2 декабря в поселке Тучково загорелся грузовой автомобиль. Машина находилась на охраняемой стоянке в промзоне вблизи улицы Потапова.
Красное знамя
%d0%b2%d0%bc1 - Газета Новые Известия
Хозяева сгоревшей хабаровской квартиры грели банки
Трое горожан погибли в результате пожара в жилом доме в Хабаровске, предположительно, из-за включенного пожилой парой обогревателя, которым супруги согревали закатанные банки с соленьями «В квартире на первом этаже,
Газета Новые Известия
В Истре открылся форум «Подмосковье: отдых и туризм» - РТВ-ПодмосковьеВ музейно-выставочном комплексе «Новый Иерусалим» в Истре открылся туристический форум «Подмосковье: отдых и туризм».
14.12.2017 РТВ-Подмосковье
Экспозиция лаковой миниатюры в музее народных художественных промыслов Московской области в селе Федоскино Мытищинского района. - Правительство Московской областиИсточник: Фотобанк Московской области, Ксения Сидорова Поездкой в обычный исторический, краеведческий или археологический музей сегодня мало кого удивишь.
14.12.2017 Правительство Московской области
  12 декабря 2017 г., в день Российской Конституции в Гжельском государственном университете звучали песни и стихи на самых разных языках.
14.12.2017 Раменский район
Главный зал управления полетом российского сегмента МКС в Центре управления полетами (ЦУП) в Королеве. - Газета Ключ
Необычные экскурсии в Подмосковье: фабрика мороженого и центр управления полетами
Поездкой в обычный исторический, краеведческий или археологический музей сегодня мало кого удивишь.
Газета Ключ
В «Мужском клубе» – балетмейстер-хореограф ДК им. Нариманова Рамиль Ахуньянов - Ленинская Шатура
В «Мужском клубе» – балетмейстер-хореограф ДК им. Нариманова Рамиль Ахуньянов
Наш сегодняшний герой постоянной рубрики «Мужской клуб» Рамиль Ахуньянов работает в ДК им.
Ленинская Шатура
Фэнтези на тему любви и коварства - Красное знамя
Фэнтези на тему любви и коварства
«Ночной театр» – так называется молодежная группа, которая объединилась, чтобы создать рок-оперу «Дитя тьмы».
Красное знамя
Роман Терюшков: «Новый ФОК в Клину значительно расширит возможности для занятий спортом благодаря своей универсальности» - Химские новостиВ городском округе Клин состоялось открытие нового многофункционального спортивного комплекса.
15.12.2017 Химские новости
Алексей Русских провел Парламентский урок для школьников Черноголовки - КПРФ    13 декабря 2017 года заместитель Председателя Комитета Государственной Думы по транспорту и строительству, член фракции КПРФ Алексей Русских провел Парламентский урок в МОУ СОШ №82 г.о.
14.12.2017 КПРФ
«Химик» не отыграл гандикап в две шайбы - ХК ХимикПродлить серию побед в Нефтекамске не удалось С первых секунд матча «Химик» был вынужден обороняться: нарушение у воскресенцев зафиксировали уже на 31 секунде.
14.12.2017 ХК Химик
По гибкому пути победы - Газета Факт
По гибкому пути победы
Местная общественная организация детско-юношеского спортивно-патриотического воспитания «Барс-Витязь» 16 декабря отметит 7-летие со дня основания.
Газета Факт
В Подмосковье откроется первый в России спортивно-образовательный кластер - Долгие Пруды
В Подмосковье откроется первый в России спортивно-образовательный кластер
14 декабря в Олимпийской деревне Новогорск состоится торжественная церемония открытия первого в России спортивно-образовательного кластера «Олимпийская деревня Новогорск».
Долгие Пруды
В «Зорком» старшим тренером будет Сергей Лихачев - Красногорские вести
В «Зорком» старшим тренером будет Сергей Лихачев
«Зоркий» произвел дозаявку в состав команды. С 13 декабря старшим тренер команды «Зоркий» будет Лихачев Сергей Евгеньевич, покинувший пост главного тренера архангельского «Водника» (как было написано в СМИ,
Красногорские вести
420 елочных базаров будет работать в Подмосковье - Газета КлючПервые елочные базары открылись в Подмосковье в пятницу, массово точки продаж хвойных начнут работать в 20-х числах декабря, всего будет 420 мест,
15.12.2017 Газета Ключ
Победители конкурса «Лучший подъезд Подмосковья» - Правительство Московской областиИсточник: Министерство жилищно-коммунального хозяйства Московской области Министр областного ЖКХ наградил победителей конкурса «Лучший подъезд Подмосковья» в рамках форума «Управдом»,
15.12.2017 Правительство Московской области
Главную новогоднюю ель страны срубили в Московской области - Красное знамяАвтор фотографии: Николай Корешков Главную новогоднюю ель страны срубили в пятницу на территории Подольского лесничества в городском округе Домодедово, в воскресенье ее привезут на Соборную площадь Кремля,
15.12.2017 Красное знамя
Аукцион по аренде земли - Администрация Воскресенского районаАдминистрация Воскресенского района информирует о проведении аукциона № АЗ-ВОС/17-1948 на право заключения договора аренды земельного участка , государственная собственность на который не разграничена,
15.12.2017 Администрация Воскресенского района
Владимир Путин провел пресс-конференцию для журналистов России - Люберецкая панорамаБольшая пресс-конференция Президента России Владимира Путина прошла в Международном конгресс центре в Москве, сообщает Люберецкое информагентство.
14.12.2017 Люберецкая панорама