Игры разума: математики доказали гипотезу, над которой учёные бились более 40 лет

Учёные Александр Полянский (МФТИ, Россия) и Цзылинь Цзян (Технион, Израиль) доказали гипотезу о покрытии сферы зонами, сформулированную венгерским математиком Ласло Фейешем Тотом ещё в 1973 году: «Если несколько зон покрывает единичную сферу, то их суммарная ширина по крайней мере π ». Результат важен для развития дискретной геометрии и даёт возможность постановки новых задач. Доказательство было опубликовано в журнале Geometric and Functional Analysis .


Дискретная геометрия изучает комбинаторные свойства точек, прямых, окружностей, многоугольников и других геометрических объектов. Например, она позволяет ответить на вопросы: какое наибольшее число шаров одинакового размера можно разместить вокруг одного такого же шара, как наиболее плотно замостить плоскость одинаковыми кругами или пространство одинаковыми шарами и т. д. Результаты некоторых таких задач сейчас применяются на практике: так, задача о плотной упаковке позволяет оптимизировать кодирование и исправление ошибок при передаче информации. Доказательство теоремы о четырёх красках, утверждающей, что всякую расположенную на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами так, чтобы граничащие страны не были одинакового цвета, натолкнуло математиков на разработку значимой части понятий теории графов, без которой невозможно представить сегодня многие разработки в химии, биологии, информатике, любые логистические системы и т. д.

 

Гипотеза Ласло Фейеш Тота тесно связана с другими задачами дискретной геометрии о покрытии полосками, решёнными в XX веке. Изначально ставилась задача о покрытии круга полосками, заключёнными между параллельными прямыми, более известная как задача о дощечках. Математик Тарский изящно и просто доказал, что суммарная ширина этих полосок-дощечек не превосходит диаметр круга, вне зависимости от их количества: то есть лучше, чем одной дощечкой, ширина которой — диаметр круга, его покрыть нельзя. Бангом была решена задача о покрытии полосками произвольного выпуклого тела, а именно было доказано, что если несколько полосок покрывает выпуклое тело, то их суммарная ширина по крайней мере ширина данного тела, т. е. минимальная ширина одной полоски, покрывающей данное тело.


Рисунок 1: Задача, решённая Тарским: полное покрытие круга с единичным радиусом полосками так, что их суммарная ширина не меньше 2 (диаметр круга). Каждая из пяти полосок имеет свою ширину и обозначена уникальным цветом.

 

Задача, над которой работали авторы публикации, принципиально отличается от предыдущих: в ней требуется исследовать покрытие сферы с единичным радиусом особым образом построенными зонами. А именно: каждая зона поставлена в соответствие определённой трёхмерной полоске-дощечке (всему тому, что заключено между двумя параллельными плоскостями, расположенными симметрично относительно центра сферы) и является её пересечением со сферой. Можно ввести и другое определение, уже не ассоциируя зоны с полосками: зоной ширины ω на поверхности сферы с единичным радиусом называется множество точек, которые находятся на расстоянии не более ω / 2 от большой окружности (экватора) в геодезической метрике (т. е. расстояние между двумя точками равно длине наименьшей дуги, их соединяющей). Математикам необходимо было найти минимальную суммарную ширину нескольких таких зон, покрывающих единичную сферу. Основное отличие задачи от предыдущих в измерении ширины: в случае обычных полосок ширина — это евклидово расстояние между параллельными прямыми или параллельными плоскостями, а этом случае — это длина дуги.


Рисунок 2: Жёлтым цветом на поверхности сферы обозначена одна зона ширины ω.


Рисунок 3: Полное покрытие сферы зонами. Каждая из пяти зон имеет свою ширину и обозначена уникальным цветом.


При доказательстве авторы были вдохновлены идеей Банга, который использовал для решения задачи о покрытии тела полосками построение специального конечного множества точек внутри тела, среди которых одна не покрыта полосками. Математики, как и Банг, шли в каком-то смысле от противного: предполагали, что сумма ширин зон, полностью покрывающих сферу, меньше π , и хотели получить противоречие: найти точку, которая лежит на сфере, но не покрыта зонами.

 

Рисунок 4: Гипотеза Ласло Фейеша Тота. Покрытие сферы с единичным радиусом зонами одинаковой ширины. Случай минимальной суммарной ширины зон равной π . Каждая зона обозначена уникальным цветом.

 

Авторы показали, что можно построить такое множество точек в трёхмерном пространстве, чтобы по крайней мере одна точка не была покрыта полосками, образующими зоны. Если все эти точки будут находиться внутри сферы, то будет несложно построить одну точку на ней, не покрытую полосками, а значит, и зонами. Если же какая-то из точек множества окажется за пределами сферы, то в этом случае удаётся заменить несколько зон одной большой зоной с шириной равной сумме всех ширин этих зон. Таким образом, удаётся в исходной задаче уменьшить число зон, но при этом не изменить их суммарную ширину, то есть в какой-то момент получится найти точку на сфере, не покрытую зонами. Это противоречит тому, что сумма ширин зон меньше π , и доказывает гипотезу Ласло Фейеш Тота.

 

Задача решалась в n - мерном пространстве, но, по словам учёных, эта постановка и доказательство ничем не отличается от трёхмерного случая.

 

Александр Полянский , сотрудник кафедры дискретной математики МФТИ, один из авторов работы: «Задача Ласло Фейеша Тота привлекала внимание математиков, занимающихся дискретной геометрией, вот уже более 40 лет. У этой задачи оказалось изящное решение, и нам посчастливилось его найти. Задача Ласло Фейеша Тота навела нас на мысль о другой, более сильной гипотезе о покрытии сферы смещёнными зонами, полученными пересечением единичной сферы с трёхмерными полосками-дощечками, не обязательно симметричными относительно центра».


 
По теме
В осетинском вузе открыли инфоцентр ОИЯИ - OpenDubna.Ru 12 октября в Северо-Осетинском государственном университете им. К.Л. Хетагурова (СОГУ) в целях международного обмена научным опытом был торжественно открыт Информационный центр Объединенного института ядерных исследований.
20.10.2018
 
Более 100 родителей продегустировали еду, которой питаются их дети в столовой средней школы № 12 - Газета Время Сегодня, 19 октября, в средней школе № 12 микрорайона Чкаловский в рамках ежегодных публичных слушаний по итогам работы школы за 2017–2018 год прошла акция, где родителям предлагалось попробовать еду,
19.10.2018
 
 150 парней стали немного ближе к армии. - Газета Вперёд Сегодня, 19 октября, в воинской части близ деревни Шарапово прошёл «День призывника», который посетили 150 учащихся колледжей и выпускных классов хотьковской, краснозаводской, шеметовской и сергиевопосадских школ.
19.10.2018
Более 100 родителей продегустировали еду, которой питаются их дети в столовой средней школы № 12 - Газета Время Сегодня, 19 октября, в средней школе № 12 микрорайона Чкаловский в рамках ежегодных публичных слушаний по итогам работы школы за 2017–2018 год прошла акция, где родителям предлагалось попробовать еду,
19.10.2018 Газета Время
Церемония закрытия II Всероссийского патриотического межнационального лагеря молодежи «Поколение» состоится 22 октября. - Дмитровский район 22 октября 2018 года в концертном зале Дома Правительства Московской области состоится торжественная церемония закрытия II Всероссийского патриотического межнационального лагеря молодежи «Поколение».
19.10.2018 Дмитровский район
В Дмитровском техникуме прошла встреча студентов из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, с представителями органов власти.
19.10.2018 Дмитровский вестник
В Подольске под колесами автомобиля погиб пешеход, водитель в розыске - SMINEWS в Подольске Фото с места ДТП В минувший четверг, 18 октября текущего года, приблизительно около 21 часа 30 минут, водитель который управлял, по предположительной информации транспортным средством ГАЗ (ГАЗель, Валдай),
19.10.2018 SMINEWS в Подольске
В Дежурную часть Кубинского Отдела полиции МУ МВД России «Одинцовское» обратилась местная жительница, которая сообщила о том, что неизвестные из квартиры, расположенной в одном из домов в п. Новый Городок Одинцовского м.р.,
19.10.2018 МВД Московской области
Сотрудники правоохранительных органов Московской области смогли установить личность матери мальчика, найденного в подъезде дома на улице Комарова в подмосковном Щёлково.
20.10.2018 Газета Вперёд
Интересная и насыщенная программа «Покров-Батюшка» ждала весь праздничный день гостей и жителей деревни, которых с самого утра гостеприимно встречали в местном Доме культуры.
19.10.2018 Куйбышевец
Любители путешествий по Московской области и изучения ее достопримечательности, пользующиеся комфортными и быстрыми автобусами ГУП «Мострансавто», могут стать участниками конкурса «Сокровищница Подмосковья».
19.10.2018 Красногорские вести
По строящемуся мосту через Волгу в Дубне пустили КамАЗы весом 25 тонн - РТВ-Подмосковье ©   Пресс-служба МТДИ МО В Дубне завершается строительства моста через Волгу: начались динамические испытания конструкции, для этого используют КамАЗы массой 25,2 тонны, сообщается на сайте телеканала «360° Подмосковье».
19.10.2018 РТВ-Подмосковье
1 - ФК Химки В субботу 20 октября в рамках 17-го тура Олимп - Первенства России среди команд клубов ФНЛ сезона 2018-19 красно-черные на своем поле примут «Тюмень».
19.10.2018 ФК Химки
ЛЮБЕРЦЫ. 20 октября. INLUBERTSY.RU. Ежегодные соревнования по армрестлингу среди юношей и девушек пройдут в Хорошевском районе Москвы ‪21 октября 2018 года‬, сообщает Люберецкое информагентство.
20.10.2018 Люберецкая панорама
Во избежание блокировки карт «Стрелка» учащегося и учащегося сельской местности необходимо до 20 октября подтвердить право на пользование картой,
20.10.2018 Газета Вперёд
Мишонова: Найдёныша из Щёлкова отправят в ресурсную семью - РТВ-Подмосковье Сейчас полиция выясняет её реальное местонахождение © «РИА Новости» ,   Михаил Воскресенский Следователи выяснили личность полуторогодовалого мальчика, найденного в подъезде в Щёлкове, и его матери, женщину разыскивают,
20.10.2018 РТВ-Подмосковье
Подтвердите льготу на "Стрелку" - Газета Вперёд Во избежание блокировки карт «Стрелка» учащегося и учащегося сельской местности необходимо до 20 октября подтвердить право на пользование картой,
20.10.2018 Газета Вперёд
ЛЮБЕРЦЫ. 20 октября. INLUBERTSY.RU. Начиная с июня этого года выполнена работа по «оцифровке», занесению в единую базу данных и ликвидации 36 тысяч ям во дворах на территории населенных пунктов региона,
20.10.2018 Люберецкая панорама
ГИБДД с понедельника зафиксировало 55 серьёзных ДТП.  К сожалению, не обошлось без пострадавших.
19.10.2018 Газета Вперёд