Игры разума: математики доказали гипотезу, над которой учёные бились более 40 лет

Учёные Александр Полянский (МФТИ, Россия) и Цзылинь Цзян (Технион, Израиль) доказали гипотезу о покрытии сферы зонами, сформулированную венгерским математиком Ласло Фейешем Тотом ещё в 1973 году: «Если несколько зон покрывает единичную сферу, то их суммарная ширина по крайней мере π ». Результат важен для развития дискретной геометрии и даёт возможность постановки новых задач. Доказательство было опубликовано в журнале Geometric and Functional Analysis .


Дискретная геометрия изучает комбинаторные свойства точек, прямых, окружностей, многоугольников и других геометрических объектов. Например, она позволяет ответить на вопросы: какое наибольшее число шаров одинакового размера можно разместить вокруг одного такого же шара, как наиболее плотно замостить плоскость одинаковыми кругами или пространство одинаковыми шарами и т. д. Результаты некоторых таких задач сейчас применяются на практике: так, задача о плотной упаковке позволяет оптимизировать кодирование и исправление ошибок при передаче информации. Доказательство теоремы о четырёх красках, утверждающей, что всякую расположенную на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами так, чтобы граничащие страны не были одинакового цвета, натолкнуло математиков на разработку значимой части понятий теории графов, без которой невозможно представить сегодня многие разработки в химии, биологии, информатике, любые логистические системы и т. д.

 

Гипотеза Ласло Фейеш Тота тесно связана с другими задачами дискретной геометрии о покрытии полосками, решёнными в XX веке. Изначально ставилась задача о покрытии круга полосками, заключёнными между параллельными прямыми, более известная как задача о дощечках. Математик Тарский изящно и просто доказал, что суммарная ширина этих полосок-дощечек не превосходит диаметр круга, вне зависимости от их количества: то есть лучше, чем одной дощечкой, ширина которой — диаметр круга, его покрыть нельзя. Бангом была решена задача о покрытии полосками произвольного выпуклого тела, а именно было доказано, что если несколько полосок покрывает выпуклое тело, то их суммарная ширина по крайней мере ширина данного тела, т. е. минимальная ширина одной полоски, покрывающей данное тело.


Рисунок 1: Задача, решённая Тарским: полное покрытие круга с единичным радиусом полосками так, что их суммарная ширина не меньше 2 (диаметр круга). Каждая из пяти полосок имеет свою ширину и обозначена уникальным цветом.

 

Задача, над которой работали авторы публикации, принципиально отличается от предыдущих: в ней требуется исследовать покрытие сферы с единичным радиусом особым образом построенными зонами. А именно: каждая зона поставлена в соответствие определённой трёхмерной полоске-дощечке (всему тому, что заключено между двумя параллельными плоскостями, расположенными симметрично относительно центра сферы) и является её пересечением со сферой. Можно ввести и другое определение, уже не ассоциируя зоны с полосками: зоной ширины ω на поверхности сферы с единичным радиусом называется множество точек, которые находятся на расстоянии не более ω / 2 от большой окружности (экватора) в геодезической метрике (т. е. расстояние между двумя точками равно длине наименьшей дуги, их соединяющей). Математикам необходимо было найти минимальную суммарную ширину нескольких таких зон, покрывающих единичную сферу. Основное отличие задачи от предыдущих в измерении ширины: в случае обычных полосок ширина — это евклидово расстояние между параллельными прямыми или параллельными плоскостями, а этом случае — это длина дуги.


Рисунок 2: Жёлтым цветом на поверхности сферы обозначена одна зона ширины ω.


Рисунок 3: Полное покрытие сферы зонами. Каждая из пяти зон имеет свою ширину и обозначена уникальным цветом.


При доказательстве авторы были вдохновлены идеей Банга, который использовал для решения задачи о покрытии тела полосками построение специального конечного множества точек внутри тела, среди которых одна не покрыта полосками. Математики, как и Банг, шли в каком-то смысле от противного: предполагали, что сумма ширин зон, полностью покрывающих сферу, меньше π , и хотели получить противоречие: найти точку, которая лежит на сфере, но не покрыта зонами.

 

Рисунок 4: Гипотеза Ласло Фейеша Тота. Покрытие сферы с единичным радиусом зонами одинаковой ширины. Случай минимальной суммарной ширины зон равной π . Каждая зона обозначена уникальным цветом.

 

Авторы показали, что можно построить такое множество точек в трёхмерном пространстве, чтобы по крайней мере одна точка не была покрыта полосками, образующими зоны. Если все эти точки будут находиться внутри сферы, то будет несложно построить одну точку на ней, не покрытую полосками, а значит, и зонами. Если же какая-то из точек множества окажется за пределами сферы, то в этом случае удаётся заменить несколько зон одной большой зоной с шириной равной сумме всех ширин этих зон. Таким образом, удаётся в исходной задаче уменьшить число зон, но при этом не изменить их суммарную ширину, то есть в какой-то момент получится найти точку на сфере, не покрытую зонами. Это противоречит тому, что сумма ширин зон меньше π , и доказывает гипотезу Ласло Фейеш Тота.

 

Задача решалась в n - мерном пространстве, но, по словам учёных, эта постановка и доказательство ничем не отличается от трёхмерного случая.

 

Александр Полянский , сотрудник кафедры дискретной математики МФТИ, один из авторов работы: «Задача Ласло Фейеша Тота привлекала внимание математиков, занимающихся дискретной геометрией, вот уже более 40 лет. У этой задачи оказалось изящное решение, и нам посчастливилось его найти. Задача Ласло Фейеша Тота навела нас на мысль о другой, более сильной гипотезе о покрытии сферы смещёнными зонами, полученными пересечением единичной сферы с трёхмерными полосками-дощечками, не обязательно симметричными относительно центра».


 
По теме
Сотрудники Центра молодежного инновационного творчества «КилоВАТТ» совместно с Государственным университетом «Дубна» завершили обучающую программу для сотрудников и пользователей центров молодежного инновационного творчества.
16.08.2018
Импульс в развитии сотрудничества - Газета Встреча Объединенный институт ядерных исследований посетила делегация из Китайской национальной ядерной корпорации (CNNC) и Китайского института атомной энергии (CIAE).
16.08.2018
 
Тематический приём граждан ко Дню знаний, по вопросам подготовки к новому учебному году  21 августа 2018 года  с 10.00 Должностное лицо Место проведения Захарова Марина Борисовна ,
16.08.2018
 
Приём граждан по вопросам подготовки к новому учебному году пройдёт 21 августа - Пущинская среда Согласно утверждённому Губернатором Московской области графиком проведения тематических приёмов граждан 21 августа 2018 года с 10.00 в Приёмной Правительства Московской области, в Министерстве образования Московской области,
15.08.2018
Импульс в развитии сотрудничества - Газета Встреча Объединенный институт ядерных исследований посетила делегация из Китайской национальной ядерной корпорации (CNNC) и Китайского института атомной энергии (CIAE).
16.08.2018 Газета Встреча
Школы Подмосковья начали проверять на чистоту и порядок перед новым учебным годом - Правительство Московской области Источник: РИАМО Административно-технические инспекторы Московской области приступили к проверке школ, колледжей и детских садов перед началом нового учебного года, всего в регионе будет проверено порядка 3 тысяч объектов,
15.08.2018 Правительство Московской области
Август – месяц, когда родители начинают собирать детей в школу. Многих родителей беспокоит один и тот же вопрос: имеет ли право администрация школы навязывать производителя/поставщика одежды?
15.08.2018 Куйбышевец
В этом году Национальный исследовательский технологический университет (НИТУ) «МИСиС» отмечает свой вековой юбилей.
14.08.2018 Газета Новые Известия
Согласно утверждённому Губернатором Московской области графиком проведения тематических приёмов граждан 21 августа 2018 года с 10.00 в Приёмной Правительства Московской области, в Министерстве образования Московской области,
15.08.2018 Пущинская среда
Жителям Подмосковья рассказали, как избежать встречи с медведем в лесу - Серебряно-Прудский вестник Гуляя в подмосковных лесах, необходимо создавать много шума, так можно спугнуть медведя, который отличается осторожностью и не любит резких звуков, сообщил РИАМО во вторник зоолог, специалист по медведям Игорь Егоров.
15.08.2018 Серебряно-Прудский вестник
В городском округе Красногорск состоялось расширенное координационное заседание комиссии по делам несовершеннолетних и защите их, сообщает пресс-служба администрации муниципалитета.
15.08.2018 Красногорские вести
Гуляя в подмосковных лесах, необходимо создавать много шума, так можно спугнуть медведя, который отличается осторожностью и не любит резких звуков, сообщил РИАМО во вторник зоолог, специалист по медведям Игорь Егоров.
15.08.2018 Серп и Молот
Определён список лауреатов 2018 года губернаторской премии «Наше Подмосковье» - Павлово-Посадские известия На состоявшемся 14 августа итоговом заседании Совета по присуждению ежегодных премий губернатора Московской области «Наше Подмосковье» определили 2018 победителей.
15.08.2018 Павлово-Посадские известия
15 августа день рождения А.А. Алябьева – участника Отечественной войны 1812 года, пианиста, певца, дирижера, педагога, организатора музыкальной жизни, но, прежде всего, композитора.
15.08.2018 Пущинская среда
«АРТ-Столица» - такое амбициозное название выбрал для выступления творческий коллектив Красногорска (который в этом году является принимающей площадкой конкурса «Город А»).
15.08.2018 Новые рубежи
График проведения тематических приёмов граждан - Лотошинский район Представляем вашему вниманию график проведения тематических приёмов граждан в ЦИОГВ, ОМСУ и общественных приёмных исполнительных органов государственной власти в муниципальных образованиях Московской области.
15.08.2018 Лотошинский район
Депутат Московской областной Думы Марина Шевченко вместе с главой городского округа Дубна Максимом Даниловым и секретарем местного отделения партии «Единая Россия»,
16.08.2018 Газета Встреча
В городском округе Клин благодаря действиям сотрудников Госадмтехнадзора Московской области устранены нарушения на участке длиной в 10 километров и 3-х местах проведения работ на   строящейся скоростной автодороге «М-11».
16.08.2018 KolomnaOnline.Ru
Филиал «Восточные электрические сети» ПАО «МОЭСК» сообщает, что по причине производства ремонтных работ, 16 августа с 9:00 до 16:00 будет полностью отключена электроэнергия в деревнях Ловчиково, Сидоровская, Бордуки,
15.08.2018 Шатурский район