Новости города БезФормата.Ru
Долгопрудный
Главные новости
 
Задать вопрос?

Игры разума: математики доказали гипотезу, над которой учёные бились более 40 лет

Учёные Александр Полянский (МФТИ, Россия) и Цзылинь Цзян (Технион, Израиль) доказали гипотезу о покрытии сферы зонами, сформулированную венгерским математиком Ласло Фейешем Тотом ещё в 1973 году: «Если несколько зон покрывает единичную сферу, то их суммарная ширина по крайней мере π ». Результат важен для развития дискретной геометрии и даёт возможность постановки новых задач. Доказательство было опубликовано в журнале Geometric and Functional Analysis .


Дискретная геометрия изучает комбинаторные свойства точек, прямых, окружностей, многоугольников и других геометрических объектов. Например, она позволяет ответить на вопросы: какое наибольшее число шаров одинакового размера можно разместить вокруг одного такого же шара, как наиболее плотно замостить плоскость одинаковыми кругами или пространство одинаковыми шарами и т. д. Результаты некоторых таких задач сейчас применяются на практике: так, задача о плотной упаковке позволяет оптимизировать кодирование и исправление ошибок при передаче информации. Доказательство теоремы о четырёх красках, утверждающей, что всякую расположенную на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами так, чтобы граничащие страны не были одинакового цвета, натолкнуло математиков на разработку значимой части понятий теории графов, без которой невозможно представить сегодня многие разработки в химии, биологии, информатике, любые логистические системы и т. д.

 

Гипотеза Ласло Фейеш Тота тесно связана с другими задачами дискретной геометрии о покрытии полосками, решёнными в XX веке. Изначально ставилась задача о покрытии круга полосками, заключёнными между параллельными прямыми, более известная как задача о дощечках. Математик Тарский изящно и просто доказал, что суммарная ширина этих полосок-дощечек не превосходит диаметр круга, вне зависимости от их количества: то есть лучше, чем одной дощечкой, ширина которой — диаметр круга, его покрыть нельзя. Бангом была решена задача о покрытии полосками произвольного выпуклого тела, а именно было доказано, что если несколько полосок покрывает выпуклое тело, то их суммарная ширина по крайней мере ширина данного тела, т. е. минимальная ширина одной полоски, покрывающей данное тело.


Рисунок 1: Задача, решённая Тарским: полное покрытие круга с единичным радиусом полосками так, что их суммарная ширина не меньше 2 (диаметр круга). Каждая из пяти полосок имеет свою ширину и обозначена уникальным цветом.

 

Задача, над которой работали авторы публикации, принципиально отличается от предыдущих: в ней требуется исследовать покрытие сферы с единичным радиусом особым образом построенными зонами. А именно: каждая зона поставлена в соответствие определённой трёхмерной полоске-дощечке (всему тому, что заключено между двумя параллельными плоскостями, расположенными симметрично относительно центра сферы) и является её пересечением со сферой. Можно ввести и другое определение, уже не ассоциируя зоны с полосками: зоной ширины ω на поверхности сферы с единичным радиусом называется множество точек, которые находятся на расстоянии не более ω / 2 от большой окружности (экватора) в геодезической метрике (т. е. расстояние между двумя точками равно длине наименьшей дуги, их соединяющей). Математикам необходимо было найти минимальную суммарную ширину нескольких таких зон, покрывающих единичную сферу. Основное отличие задачи от предыдущих в измерении ширины: в случае обычных полосок ширина — это евклидово расстояние между параллельными прямыми или параллельными плоскостями, а этом случае — это длина дуги.


Рисунок 2: Жёлтым цветом на поверхности сферы обозначена одна зона ширины ω.


Рисунок 3: Полное покрытие сферы зонами. Каждая из пяти зон имеет свою ширину и обозначена уникальным цветом.


При доказательстве авторы были вдохновлены идеей Банга, который использовал для решения задачи о покрытии тела полосками построение специального конечного множества точек внутри тела, среди которых одна не покрыта полосками. Математики, как и Банг, шли в каком-то смысле от противного: предполагали, что сумма ширин зон, полностью покрывающих сферу, меньше π , и хотели получить противоречие: найти точку, которая лежит на сфере, но не покрыта зонами.

 

Рисунок 4: Гипотеза Ласло Фейеша Тота. Покрытие сферы с единичным радиусом зонами одинаковой ширины. Случай минимальной суммарной ширины зон равной π . Каждая зона обозначена уникальным цветом.

 

Авторы показали, что можно построить такое множество точек в трёхмерном пространстве, чтобы по крайней мере одна точка не была покрыта полосками, образующими зоны. Если все эти точки будут находиться внутри сферы, то будет несложно построить одну точку на ней, не покрытую полосками, а значит, и зонами. Если же какая-то из точек множества окажется за пределами сферы, то в этом случае удаётся заменить несколько зон одной большой зоной с шириной равной сумме всех ширин этих зон. Таким образом, удаётся в исходной задаче уменьшить число зон, но при этом не изменить их суммарную ширину, то есть в какой-то момент получится найти точку на сфере, не покрытую зонами. Это противоречит тому, что сумма ширин зон меньше π , и доказывает гипотезу Ласло Фейеш Тота.

 

Задача решалась в n - мерном пространстве, но, по словам учёных, эта постановка и доказательство ничем не отличается от трёхмерного случая.

 

Александр Полянский , сотрудник кафедры дискретной математики МФТИ, один из авторов работы: «Задача Ласло Фейеша Тота привлекала внимание математиков, занимающихся дискретной геометрией, вот уже более 40 лет. У этой задачи оказалось изящное решение, и нам посчастливилось его найти. Задача Ласло Фейеша Тота навела нас на мысль о другой, более сильной гипотезе о покрытии сферы смещёнными зонами, полученными пересечением единичной сферы с трёхмерными полосками-дощечками, не обязательно симметричными относительно центра».


Министр обороны России открыл форум «Я – Юнармия!» в парке «Патриот» в Подмосковье - Правительство Московской областиИсточник: Пресс-служба Губернатора Московской области, Александр Щемляев Всероссийский молодежный патриотический форум «Я – Юнармия!» проходит в парке «Патриот» в Подмосковье, его открыл министр обороны РФ Сергей Шойгу,
23.02.2018 Правительство Московской области
Малаховская библиотека провела утренник - Люберецкая панорамаЛЮБЕРЦЫ. 23 фев. INLUBERTSY.RU – Малаховская детская и юношеская библиотека провела утренник, посвященный окончанию изучения Азбуки в первом классе с учащимися близлежащей школы № 48, сообщает Люберецкое информагентство.
23.02.2018 Люберецкая панорама
Фото: https://mipt.ru/ - OpenDubna.RuГруппа учёных из МФТИ , Института космических исследований РАН и двух институтов  госкорпорации "Росатом" — Российского федерального ядерного центра ВНИИЭФ и Троицкого института инновационных и термоядерных исследований
23.02.2018 OpenDubna.Ru
Воробьев и Шойгу в парке Патриот с юнармейцами - Правительство Московской областиИсточник: Пресс-служба Губернатора Московской области Губернатор Московской области Андрей Воробьев встретился с юнармейцами в рамках Всероссийского молодежного патриотического форума «Я – Юнармия!» в парке «Патриот»,
23.02.2018 Правительство Московской области
В Красногорске будущие экономисты, программисты и технологи соревнуются в профмастерстве - Красногорские вестиВ Красногорске на базе центра профессионального образования «Красногорский колледж» стартовала Всероссийская олимпиада профессионального мастерства обучающихся по специальностям среднего профессионального образования.
22.02.2018 Красногорские вести
Жуковские предприятия приняли участие в ярмарке вакансий - Zhukgsn.Ru21 февраля Центр занятости населения Раменского муниципального района и городского округа Жуковский подвел итоги первой в этом году ярмарки вакансий для безработных и ищущих работу граждан, в том числе инвалидов.
22.02.2018 Zhukgsn.Ru
Детский сад №10 «Улыбка» отметил новоселье - За новую жизньПосле завершения капитального ремонта отметил новоселье детский сад №10 «Улыбка».
22.02.2018 За новую жизнь
Воробьёв принял участие в открытии форум «Я – Юнармия!» в парке «Патриот» - РТВ-ПодмосковьеФорум открыл министр обороны России Сергей Шойгу В парке «Патриот» в Одинцовском районе Подмосковья проходит Всероссийский молодёжный патриотическоий форум «Я – Юнармия!
23.02.2018 РТВ-Подмосковье
Малаховская библиотека провела утренник - Люберецкая панорамаЛЮБЕРЦЫ. 23 фев. INLUBERTSY.RU – Малаховская детская и юношеская библиотека провела утренник, посвященный окончанию изучения Азбуки в первом классе с учащимися близлежащей школы № 48, сообщает Люберецкое информагентство.
23.02.2018 Люберецкая панорама
«Сталинградская битва глазами очевидцев» - МГОУ21 февраля в стенах МГОУ в рамках проекта «Живая история» прошел конкурс «Сталинградская битва глазами очевидцев».
22.02.2018 МГОУ
Спецрепортаж: Первый кадетский класс Долгопрудного - Долгие Пруды
Спецрепортаж: Первый кадетский класс Долгопрудного
В преддверии 23 февраля наш корреспондент побывал в первом в истории Долгопрудного кадетском классе.
Долгие Пруды
Закон позитивной энергии - Павлово-Посадские известия
Закон позитивной энергии
На конкурсе «Педагог года Подмосковья - 2018» г.о. Павловский Посад будет представлять учитель физики и информатики школы № 6 Олеся Чупилина.
Павлово-Посадские известия
Детский сад №10 «Улыбка» отметил новоселье - За новую жизнь
Детский сад №10 «Улыбка» отметил новоселье
После завершения капитального ремонта отметил новоселье детский сад №10 «Улыбка».
За новую жизнь
IMG-20180220-WA0009 - ГУ МЧС МООдной из причин возникновения пожаров является детская шалость с огнем. В многодетных семьях, а также семьях, попавших в сложную жизненную ситуацию, родителям бывает сложно уследить за детьми.
23.02.2018 ГУ МЧС МО
Житель Рузского округа получил ожоги в результате пожара в квартире - Красное знамяВечером того же дня на пульт 01 поступил вызов в село Покровское. Дым шел из комнаты в квартире на первом этаже одного из домов по улице Комсомольской.
23.02.2018 Красное знамя
Суд приговорил уроженцев Таджикистана за попытку устроить взрыв в Люберцах к длительным срокам - ИнфоЛюберцыИнфоЛюберцы – 23 фев . Суд в Москве вынес приговор готовившим взрыв в люберецкой маршрутке шестерым уроженцам Таджикистана - сторонникам ИГ, сообщает городской сайт ИнфоЛюберцы со ссылкой на телеканал РТД.
23.02.2018 ИнфоЛюберцы
С Днём защитника Отечества!  - Красное знамя
С Днём защитника Отечества! 
Уважаемые жители Подмосковья!  Для нашей страны, для нашего Подмосковья – это особый праздник.
Красное знамя
В Рузе горела квартира - Красное знамя
В Рузе горела квартира
Вечером 21 февраля в доме №16 на улице Почтовой загорелась одна из квартир на втором этаже.
Красное знамя
В Звенигороде задержали грабителей - Звенигородские ведомости
В Звенигороде задержали грабителей
Сотрудниками уголовного розыска МУ МВД России «Одинцовское» в ходе проведения оперативно-розыскных мероприятий задержаны двое мужчин в возрасте 22 и 28 лет, подозреваемых в совершении грабежа.
Звенигородские ведомости
Выставки в округе Красногорск - Красногорские вестиДК «ПОДМОСКОВЬЕ», Красногорск, ул. Ленина, д. 3 По 28 февраля. Выставка живописи Людмилы Беляковой.
23.02.2018 Красногорские вести
"Цель матадора" - театр Химок готовится к громкой премьере - Химские новостиУже в эти выходные на большой сцене Химкинского драматического театра "Наш дом" состоится премьера спектакля "Цель матадора".
23.02.2018 Химские новости
Соковиков - Павлово-Посадские известияС Днём защитника Отечества павловопосадцев поздравляют губернатор Московской области Андрей Воробьёв, депутат Московской областной думы Линара Самединова и глава г.о.
23.02.2018 Павлово-Посадские известия
Праздничные выходные обещают быть интересным и позитивными - Павлово-Посадские известия
Праздничные выходные обещают быть интересным и позитивными
Афиша учреждений культуры г.о. Павловский Посад на ближайшую неделю – с 23 февраля по 1 марта.
Павлово-Посадские известия
В Солнечногорске прошел первый Открытый фестиваль казачьей культуры «Во славу родного края» - Газета Сенеж
В Солнечногорске прошел первый Открытый фестиваль казачьей культуры «Во славу родного края»
Традиции казачьей культуры неразрывно связаны с великой миссией служения Отечеству.
Газета Сенеж
Коллекционер мечтает создать муниципальный военный музей в Пушкино - Газета Маяк
Коллекционер мечтает создать муниципальный военный музей в Пушкино
© Николай Ильницкий, Пушкинское информагентство Коллекционер военной формы и амуниции из Пушкино Сергей Чибинеев мечтает создать в городе муниципальный военный музей, рассказал Пушкинскому информагентству он сам.
Газета Маяк
О чём говорят женщины - Красногорские вести23 февраля в нашей стране отмечается День защитника Отечества. Накануне этой даты корреспонденты «КВ» выяснили, какие качества в мужчинах представительницы слабого пола ценят больше всего, и, конечно же,
23.02.2018 Красногорские вести
На липецких татами - Новые рубежиВсероссийские соревнования по каратэ «Кубок Петра Великого» прошли в городе Липецк ФОТО ИЗ АРХИВА ДЮСШ «ГОРКИ-10» Эти соревнования проводятся под эгидой Федерации каратэ России в соответствии с Единым календарным п
23.02.2018 Новые рубежи
Семь новичков пополнили состав подмосковных "Химок" - Химские новостиФутбольный клуб "Химки" совсем недавно сменил руководство: генеральным директором клуба стал Василий Иванов, возглавил команду опытный специалист Юрий Красножан.
23.02.2018 Химские новости
Афиша мероприятий с 23 февраля по 1 марта - Красногорские вести
Афиша мероприятий с 23 февраля по 1 марта
КУЛЬТУРА ДК «ПОДМОСКОВЬЕ» 23 февраля «Любовь – не картошка, не выбросишь 19.00.
Красногорские вести
Ружанка на «Поле чудес» - Красное знамя
Ружанка на «Поле чудес»
В минувшую пятницу ружане с особым удовольствием смотрели популярнейшую телепередачу «Поле чудес», ведь там не просто играла наша землячка, жительница Покровского Оксана Потапова, – ей даже удалось выйти в финал.
Красное знамя
В Красногорске торжественно открыли горнолыжный спуск на Черневской горке - Красногорские вести
В Красногорске торжественно открыли горнолыжный спуск на Черневской горке
Долгожданное событие состоялось сегодня, 23 февраля. В солнечный и морозный день на Черневской горке собрались красногорцы - любители активного отдыха.
Красногорские вести
С Днем защитника Отечества! - Газета СенежС праздником солнечногорцев поздравляют губернатор Московской области Андрей Воробьев, глава Солнечногорского района Андрей Чураков, депутат Государственной думы Мартин Шаккум, депутат Мособлдумы Сергей Юдаков,
22.02.2018 Газета Сенеж
Андрей Голубев поздравил жителей городского округа Ступино с Днём защитника Отечества - Ступинская панорамаДорогие земляки, дорогие товарищи генералы, офицеры и солдаты, дорогие наши ветераны!
23.02.2018 Ступинская панорама
Соковиков - Павлово-Посадские известияС Днём защитника Отечества павловопосадцев поздравляют губернатор Московской области Андрей Воробьёв, депутат Московской областной думы Линара Самединова и глава г.о.
23.02.2018 Павлово-Посадские известия
В Зарайске прошёл турнир по настольному теннису, посвящённый Дню защитника Отечества - За новую жизнь11 февраля в спортивном зале Детско-юношеского спортивного клуба состоялся турнир по настольному теннису, посвящённый Дню защитника Отечества.
23.02.2018 За новую жизнь
Накануне 23 февраля в Электростали прошел пожарно-спасательный флэшмоб - Газета Новости неделиНакануне Дня защитника Отечества сотрудники МЧС провели акцию для школьников и жителей города.
22.02.2018 Газета Новости недели